수란 무엇인가 (도서)

저자 

:  브누아 리토 / 수학의 대중화를 도모하는 잡지 <탕장트>의 부 편집자이자 파리 13대학에서 강의 하는 수학자

 

빠른 정리

: 수는 존재하는가, 또 수가 존재하는 지 아닌지를 아는 것이 중요한 문제 일까. 수를 연구하는 수학자를 제외하고는 수의 존재를 믿는 것은 일종의 사상적 충성으로 보인다. 수의 실재 여부보다 중요한 것은 추상적인 ‘수’의 개념이 현실에서 어떻게 적용되는 것인지를 아는 것이다.

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긴 정리

수는 숫자만을 의미하는가

수는 일상에서 보다 다양한 의미로 사용된다. 이 과정에서 ‘어떤 것을 세거나 헤아린 양’의 개념보다는 넓은 의미로 확장된다. 번호는 어떤 집합을 이루는 대상들에게 체계적인 방식으로 정확한 명칭을 부여하고자 할 때도 사용된다. 번호 사용의 대표적인 예로는 주민등록번호가 있다. 한 개인을 번호로 축약하여 표현하는 이 방식은 개인을 사회적인 종재로서 규정하는 데 이용된다.

수의 순서 구조란 무엇인가

어떤 수가 단순히 ‘숫자형 명칭’에 그치지 않고 다른 숟자들과 순서상으로 분류가 가능할 때, 우리는 이를 순서수(또는 차례수)라고 한다. 어떤 책에서 154쪽을 찾으려고 할 때, 우리는 일일히 한 쪽씩 넘겨보지 않는다. 책의 중간쯤 펼친 다음 쪽 번호를 확인하고 그에 따라 앞이나 뒤로 책장을 넘겨 해당 쪽수를 찾는다. 우리는 여기에서 수의 순서 구조를 발견할 수 있다. 순서 구조를 지닌 번호에는 기수와 서수가 있다. 기수는 하나, 둘, 셋 등 수량을 나타내는 것이고 서수는 첫 번째, 두 번째, 세 번째 등 순서를 나타내는 것이다.

덧셈은 내적 구성법을 바탕으로 하는가

가격, 옷의 무게, 감자의 개수, 걸린 시간 등을 표현할 때 숫자글은 단순한 번호가 어니라, 순서 구조를 뛰어넘는 양적 요소를 포함하고 있다. 이를 ‘수량’이라고 한다. 수량을 더하는 문제의 기본적인 규칙은 같은 성질의 수량끼리만 더할 수 있다는 것이다. 그러기 위해 우리는 각 수량에 ‘측정 단위’란 것을 붙여 준다. 이처럼 단위가 정해져 있으면 2시간에 3시간을 더해서 5시간이라는 결과를 얻을 수 있다. 이런 덧셈을 가리켜 내적 구성법을 바탕으로 했다고 한다. 내적 구성법은 앞에 예처럼 두 개의 시간(2시간, 3시간)으로 부터 세 번째 시간을 만들어 내는 규칙으로, 시간의 덧셈을 가능케 하는 것이다. (다만, 단일한 시간의 종류끼리에서만 가능)

곱셈을 기하학적으로 풀이할 수 있을까

3×4를 덧셈의 연장선상에서 파악하면 ‘3이라는 수치가 4번 있다’ 즉, 3+3+3+3으로 이해 할 수 있다. 그렇다면 4×3이 의미하는 것은 무엇일까? 그것은 ‘4라는 수치가 3번 있는 것으로 4+4+4가 될 것이다. 여기서 3+3+3+3과 4+4+4의 결과가 같은 것을 알 수 있는데, 이를 곱셈의 교환법칙이라고 한다. 그러나 실제 적용에 있어서 ‘3×4’와 4×3’은 같은 의미가 아니다. 예를 들어 육상경기에서 ‘400×4릴레이’는 4명의 선수들이 각각 400미터를 달리는 것을 의미한다. 이는 결코 4×400릴레이’라는 식으로 표기하지 않는다. 후자의 경우는 400명의 선수가 각각 4미터를 뛰는 것으로 의미가 바뀌기 때문이다. 그렇다면 3×4와 4×3이 결과에서 동일할 뿐만 아니라, 의미도 같다는 사실을 증명하기 위해서는 어떻게 해야하는가. 고대 그리스 학자들은 곱셈을 기하학적 개념으로 풀어서 설명했다. 이는 단번에 곱셈의 교환법칙이라는 문제를 해결할 수 있었다. 왜냐하면 가로와 세로의 길이가 각각 3과 4로 이루어진 직사각형을 회전시키면 4와 3으로 이루어진 직사각형으로 바꿀 수 있고, 그 직사각형의 면적은 3×4 = 4×3으로 동일하기 때문이다.

하지만 안타깝게도 곱셈의 모든 경우를 설명해주지는 않는다. 2×3×4는 변의 길이가 각각 2, 3, 4인 직육면체의 부피를 구하는 방법에서 찾을 수 있지만 이러한 방법으로 2×3×4×5를 설명하려면 ‘4차원 입방체’를 구성하고 ‘4차원 부피’를 설명해야 하는 복잡한 상황에 놓이게 된다. 또한 2+(3×4)같은 경우를 기하학적으로 설명하기 위해서는 3×4를 직사각형의 면적으로 보았을 때, 2 또한 면적으로 보아야 이 식에 대한 설명이 가능하다.

곱셈은 외적 구성법을 바탕으로 하는가

그래도 곱셈에서는 덧셈에서는 찾을 수 없는 융통성을 가지고 있다. 서로 다른 성질의 수량끼리도 곱할 수 있기 때문이다. 3×4는 그 크기가 3인 길이와 길이가 4인 길이를 곱하는 것으로 보고, 이때의 단위를 미터라고 하자. 그러면 그 결과인 12의 단위는 제곱미터가 된다. 이처럼 곱셈으로 계산되어 나온 단위는 처음에 식에 쓰였던 단위와 일치하지 않는다. 이는 곱셈이 내적 구성법이 아닌 외적 구성법을 바탕으로 한다는 것을 보여준다. 연산 과정에서 곱셈의 계산 결과로 혼합된 단위가 나타나게 되면 수량에도 보다 복잡한 변형이 생긴다.

연산자

앞서 우리는 3×4를 덧셈의 연속으로 간주하는 수학적 사고 방식을 하였으며 ‘400×4릴레이’에서 400은 미터로, 수량과 관계있다는 사실을 알 수 있었다. 반면, 4는 하나의 단위가 아닌, 연산의 반복 횟수를 의미했다. 이에 따라 ‘400×4’는 ‘400+400+400+400’으로 바뀌게 되었다. 여기서 문제는 4라는 숫자를 릴레이에 참가하는 선수의 수로 간주하면서 발생한다. 왜냐하면 400×4의 1600인데, 이는 선수들이 전체 뛴 거리를 의미한다. 그리고 이 전체 단위의 거리도 역시 미터이지, ‘미터×선수의 수’가 아닌 것이다. 따라서 ‘400×4’가 명확한 단위를 나타내는 두 개의 수량을 곱한 것이라고 결론짓는 것은 성급한 일이다. 단순히 400이 아닌, 400×까지를 하나로 보고, 수학적으로는 이를 연산자라고 한다. 덧셈에서 쓰이는 내적 구성법과 곱셈에서 쓰이는 외적 수정법에서는 세 번째 수를 만들어 내기 위해 두 개의 자료가 필요하다. 반면에, ‘400×’와 같은 연산자에서는 새로운 자료인 1600미터를 만들어내기 위해, 4라는 하나의 자료만이 필요하다.

진정한 수란 무엇일까

지금까지 우리는 여러 수를 단순한 수로 한데 묶지 않도록 주의하면서 숫자와 번호, 수량의 개념을 살펴보았다. 사실 ‘수’라는 개념은 매우 추상적이어서 그에 대한 실용적인 예를 찾는 데에도 어려움이 없지 않아 있었다. 수를 바라보는 첫 번째 방식은 단위가 없는 양으로 간주하는 것이다. 물론 양의 의미를 고려해보면 단위가 없다는 것 자체가 모순일 수 있다. 두 번째로는 수와 연산자를 묶어서 보는 방법이 있다. 세 번째는 고대 그리스인들이 수에 하나의 단위(길이)를 부여했듯이, 수를 특정한 양으로 구체화시키는 방법이다. 그러나 이 경우에는 곱엠의 예에서 보았듯이, 수의 수학적 위치가 변하게 된다. 길이끼리의 곱샘은 외적 구성법인 반면, 우리가 기대하는 것은 내적 구성법으로 이루어지는 수끼리의 곱셈이다.

왜 수가 무엇인지 알아야 할까

우리는 이미 일상 속에서 다양한 것들을 양 또는 번호라는 ‘수’의 개념들도 정의해왔다. 지금까지 언급한 개념들만으로도 ‘수’에 대한 많은 문제들을 해결할 수 있다. 수학자들조차도 수에대한 정확한 정의를 내리려고 하지 않는다. 그러나 문맥이나 상황을 배제한 순수한 ‘수’의 개념을 정의하는 것도 중요하다는 사실을 잊지 말아야 한다. 왜냐면 특정한 물체가 특정한 상황에서 이동하는 방식을 아는 것보다 전체적인 움직임의 일반적인 법칙을 이해하는 것이 더 유용할 때가 있기 때문이다. 다시 말해 수많은 부분적인 변화보다 수의 일반적인 개념을 이해하기 위해서는 구체적인 상황을 생각하지 말아야 하듯 말이다. 수는 결코 볼 수 있는 실체가 아니다. 유니콘과 같은 전설 속의 동물처럼 우리는 그 존재를 짐작해볼 수 밖에 없다. 이와 같은 수의 존재에 대한 질문은 일반적인 수학정 대상들의 존재에 대한 좀 더 포괄적인 논의의 일부분이다. 대다수의 수학자들은 수의 세계가 플라톤이 말한 ‘이데아의 세계와 유사한 세계 속에 존재한다고 본다. 하지만 수가 존재하는 지 아닌지를 아는 것이 중요한 문제 일까. 수를 연구하는 수학자를 제외하고는 수의 존재를 믿는 것은 일종의 사상적 충성으로 보인다. 수의 실재 여부보다 중요한 것은 추상적인 ‘수’의 개념이 현실에서 어떻게 적용되는 것인지를 아는 것이다.

 

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• 벡터에서 내적의 결과값은 스칼라이고, 외적의 결과값은 벡터이다. 스칼라량은 단지 하나의 크기량을 나타내지만 벡터량은 방향과 크기를 동시에 나타낸다.
• 어떤 함수에 작용해 그 함수를 다른 함수로 변형시키는 함수를 말한다. 수학 전반에서 연산자의 넓은 의미는 자기 자신으로의(즉, 정의역과 공역이 동일한) 함수를 말한다. 거듭제곱, 제곱근, 팩토리얼 등이 수의 연산의 예시가 될 수 있다.
  • 프로그래밍 언어에서 값(value)을 평가(evaluate)할 수 있는 문장을 표현식(expression)이라 부른다. 표현식은 연산자(operator)와 피연산자(operand)로 이루어져 있다.
  • 프로그래밍 언어에 쓰이는 연산자의 종류로는 단항 연산자(unary operator), 이항 연산자, 삼항 연산자가 있다.